2.2 决策树

决策树是一种通过树形结构进行分类的方法，使用层层推理来实现最终的分类。

决策树由下面几种元素构成：

• 根节点：最顶层的分类条件。
• 决策节点（中间节点）：中间分类条件。
• 叶子节点：代表标签类别。

上面的说法过于抽象，下面来看一个实际的例子。构建一棵结构简单的决策树，用于预测贷款用户是否具有偿还贷款的能力。

贷款用户主要具备三个属性：是否拥有房产，是否结婚，平均月收入。

每一个内部节点都表示一个属性条件判断，叶子节点表示贷款用户是否具有偿还能力。

首先判断贷款用户是否拥有房产，如果用户拥有房产，则说明该用户具有偿还贷款的能力；否则需要判断该用户是否结婚，如果已经结婚则具有偿还贷款的能力；否则需要判断该用户的收入大小，如果该用户月收入小于 4K 元，则该用户不具有偿还贷款的能力，否则该用户是具有偿还能力的。

想一想

决策树的流程是什么？

在有一个贷款用户A，其情况是月收入 3K、已经结婚、没有房产，那么他是否具有偿还贷款的能力呢？

上图中我们为什么要用“是否拥有房产”作根节点呢？可不可以用“是否结婚”和“平均月收入”做根节点呢？

2.2.1 决策树分类概念

数据: 游乐场经营者提供天气情况（如晴、雨、多云）、温度高低、湿度大小、风力强弱等气象特点以及游客当天是否前往游乐场。

目标: 预测游客是否来游乐场游玩。

序号	天气	温度（℃）	湿度	是否有风	是（1）否（0）前往游乐场
1	晴	29	85	否	0
2	晴	26	88	是	0
3	多云	28	78	否	1
4	雨	21	96	否	1
5	雨	20	80	否	1
6	雨	18	70	是	0
7	多云	18	65	是	1
8	晴	22	90	否	0
9	晴	21	68	否	1
10	雨	24	80	否	1
11	晴	24	63	是	1
12	多云	22	90	是	1
13	多云	27	75	否	1
14	雨	21	80	是	0

根据上表，绘制如图所示的决策树：

根节点是天气状况，具有 雨、 多云 和 晴 三种属性取值。

• 多云: 样本子集是 { 3, 7, 12, 13 } ，仅有“前往游乐场游玩”一个类别，即肯定去游乐场。

• 晴: 样本子集是 { 1, 2, 8, 9, 11 }
  • 湿度大于 75：样本子集为 { 1, 2, 8 }，不前往游乐场。
  • 湿度不大于 75：样本子集 { 9, 11 }，前往游乐场。

• 雨：样本子集为 { 4, 5, 6, 10, 14 }
  • 有风：样本子集 { 6, 14 },不去游乐场。
  • 无风：样本子集 { 4, 5, 10 }，前往游乐场。

想一想

通过上面的例子，你观察到构建决策树的过程是哪几步？

下面，我们创建数据并进行一些预处理

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

import math
from math import log
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore")

# 原始数据
datasets = [
    ['晴', 29, 85, '否', '0'],
    ['晴', 26, 88, '是', '0'],
    ['多云', 28, 78, '否', '1'],
    ['雨', 21, 96, '否', '1'],
    ['雨', 20, 80, '否', '1'],
    ['雨', 18, 70, '是', '0'],
    ['多云', 18, 65, '是', '1'],
    ['晴', 22, 90, '否', '0'],
    ['晴', 21, 68, '否', '1'],
    ['雨', 24, 80, '否', '1'],
    ['晴', 24, 63, '是', '1'],
    ['多云', 22, 90, '是', '1'],
    ['多云', 27, 75, '否', '1'],
    ['雨', 21, 80, '是', '0']
]
# 数据的列名
labels = ['天气', '温度', '湿度', '是否有风', '是否前往游乐场']
# 将湿度大小分为大于 75 和小于等于 75 这两个属性值，
# 将温度大小分为大于 26 和小于等于 26 这两个属性值
for i in range(len(datasets)):
    if datasets[i][2] > 75:
        datasets[i][2] = '>75'
    else:
        datasets[i][2] = '<=75'
    if datasets[i][1] > 26:
        datasets[i][1] = '>26'
    else:
        datasets[i][1] = '<=26'
# 构建 dataframe 并查看数据
df = pd.DataFrame(datasets, columns=labels)
df

2.2.2 构建决策树

想一想

信息熵和信息增益分别是什么？

假设有 $K$ 个信息，其组成了集合样本 $D$ ，记第 $k$ 个信息发生的概率为 $p_k(1≤k≤K)$。

这 $K$ 个信息的信息熵该如何计算？

所有 $p_k$ 累加起来的和是多少？

动手练

根据公式编写代码计算信息熵

def calc_entropy(total_num, count_dict):
    """
    计算信息熵
    :param total_num: 总样本数
    :param count_dict: 每类样本及其对应数目的字典
    :return: 信息熵
    """
    # todo 使用公式计算信息熵
    ent = 
    # 返回信息熵，精确到小数点后 4 位
    return round(ent, 4)

现在用信息熵来构建决策树。数据中 14 个样本分为 “游客来游乐场 （9 个样本）” 和 “游客不来游乐场（ 5 个样本）” 两个类别，即 K = 2。

记 “游客来游乐场” 和 “游客不来游乐场” 的概率分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，显然 $p_1=\frac{9}{14}$，$p_1=\frac{5}{14}$，则这 14 个样本所蕴含的信息熵：

$$E(D)=-\sum_{k=1}^{2}p_{k}log_{2}{p_k}=-(\frac{9}{14}×log_{2}{\frac{9}{14}}+\frac{5}{14}×log_{2}{\frac{5}{14}})=0.940$$

我们可以用下面这种方式对 DataFrame 的数据按条件进行筛选。

# 例如：按 是否前往游乐场 == 0 进行筛选
df[df['是否前往游乐场']=='0']

使用上面的方法，可以得到计算信息熵所需的总样本数，以及每类样本及其对应数目的字典，然后计算信息熵。

# 总样本数
total_num = df.shape[0]
# 每类样本及其对应数目的字典
count_dict = {'前往': df[df['是否前往游乐场']=='1'].shape[0], '不前往': df[df['是否前往游乐场']=='1'].shape[1]}
# 计算信息熵
entropy = calc_entropy(total_num, count_dict)
entropy

计算天气状况所对应的信息熵：
天气状况的三个属性记为 $a_0=“晴”$ ，$a_1=“多云”$ ，$a_2=“雨”$ ，
属性取值为 $a_i$ 对应分支节点所包含子样本集记为 $D_i$ ，该子样本集包含样本数量记为 $|D_i|$ 。

天气属性取值$a_i$	“晴”	“多云”	“雨”
对应样本数$	D_i	$	5	4	5
正负样本数量	（2+，3-）	（4+，0-）	（3+，2-）

计算天气状况每个属性值的信息熵：

$“晴”：E(D_0)=-(\frac{2}{5}×log_{2}{\frac{2}{5}}+\frac{3}{5}×log_{2}{\frac{3}{5}})=0.971$

$“多云”：E(D_1)=-(\frac{4}{4}×log_{2}{\frac{4}{4}})=0$

$“雨”：E(D_2)=-(\frac{3}{5}×log_{2}{\frac{3}{5}}+\frac{2}{5}×log_{2}{\frac{2}{5}})=0.971$

现在，我们来编写代码进行完成上面的计算。

首先，我们可以使用下面的写法，对 Dataframe 进行多个条件的筛选。

# 筛选出 天气为晴并且去游乐场的样本数据
df[(df['天气']=='晴') & (df['是否前往游乐场']=='1')]

# 天气为晴的总天数
total_num_sun = df[df['天气']=='晴'].shape[0]

# 天气为晴时，去游乐场和不去游乐场的人数
count_dict_sun = {'前往':df[(df['天气']=='晴') & (df['是否前往游乐场']=='1')].shape[0],
                  '不前往':df[(df['天气']=='晴') & (df['是否前往游乐场']=='0')].shape[0]}
print(count_dict_sun)

# 计算天气-晴 的信息熵
ent_sun = calc_entropy(total_num_sun, count_dict_sun)
print('天气-晴 的信息熵为：%s' % ent_sun)

# 天气为多云的总天数
total_num_cloud = df[df['天气']=='多云'].shape[0]

# 天气为多云时，去游乐场和不去游乐场的人数
count_dict_cloud = {'前往':df[(df['天气']=='多云') & (df['是否前往游乐场']=='1')].shape[0],
                    '不前往':df[(df['天气']=='多云') & (df['是否前往游乐场']=='0')].shape[0]}
print(count_dict_cloud)

# 计算天气-多云 的信息熵
ent_cloud = calc_entropy(total_num_cloud, count_dict_cloud)
print('天气-多云 的信息熵为：%s' % ent_cloud)

# 天气为雨的总天数
total_num_rain = df[df['天气']=='雨'].shape[0]

# 天气为雨时，去游乐场和不去游乐场的人数
count_dict_rain = {'前往':df[(df['天气']=='雨') & (df['是否前往游乐场']=='1')].shape[0],
                   '不前往':df[(df['天气']=='雨') & (df['是否前往游乐场']=='0')].shape[0]}
print(count_dict_rain)

# 计算天气-雨 的信息熵
ent_rain = calc_entropy(total_num_rain, count_dict_rain)
print('天气-雨 的信息熵为：%s' % ent_rain)

计算天气状况的信息增益:
$$Gain(D,A)=E(D)-\sum_{i}^{n}\frac{|D_i|}{D}E(D)$$

其中，$A=“天气状况”$。于是天气状况这一气象特点的信息增益为： $$Gain(D,天气)=0.940-（\frac{5}{14}×0.971+\frac{4}{14}×0+\frac{5}{14}×0.971）=0.246$$

同理可以计算温度高低、湿度大小、风力强弱三个气象特点的信息增益。
通常情况下，某个分支的信息增益越大，则该分支对样本集划分所获得的“纯度”越大，信息不确定性减少的程度越大。

动手练

使用上面的公式计算信息增益。

# todo 计算按天气状况分割的信息增益
gain = 
gain

扩展内容

基尼指数

除了使用信息增益以外，我们也可以使用基尼指数来构建决策树。

分类问题中，假设有 $K$ 个类，样本点属于第 $k$ 类的概率为 $p_{k}$，则概率分布的基尼指数定义为：

$$\operatorname{Gini}(p)=\sum_{k=1}^{K} p_{k}\left(1-p_{k}\right)=1-\sum_{k=1}^{K} p_{k}^{2}$$

对于给定的样本集合 $D$，其基尼指数为

$$\operatorname{Gini}(D)=1-\sum_{k=1}^{K}\left(\frac{\left|C_{k}\right|}{|D|}\right)^{2}$$

这里，$C_{k}$ 是 $D$ 中属于第 $k$ 类的样本子集，$K$ 是类的个数。

如果样本集合 $D$ 根据特征 $A$ 是否取某一可能值 $a$ 被分割为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 两部分，即

$$D_{1}=\{(x, y) \in D | A(x)=a\}, \quad D_{2}=D-D_{1}$$

则在特征 $A$ 的条件下，集合 $D$ 的基尼指数定义为

$$\operatorname{Gini}(D, A)=\frac{\left|D_{1}\right|}{|D|} \operatorname{Gini}\left(D_{1}\right)+\frac{\left|D_{2}\right|}{|D|} \operatorname{Gini}\left(D_{2}\right)$$

基尼指数 $Gini(D)$ 表示集合 $D$ 的不确定性，基尼指数 $Gini(D, A)$ 表示经过分割后集合 $D$ 的不确定性。基尼指数值越大，样本集合的不确定性也就越大，这一点与信息熵相似。

想一想：

对于二分类问题，若样本点属于第 1 个类的概率是 $p$，则概率分布的基尼指数是多少？

思考与练习

1. 分别将天气状况、温度高低、湿度大小、风力强弱作为分支点来构建决策树，查看信息增益。

# todo 以温度 26 为温度高低的分界线，计算信息增益

# todo 以湿度 75 为湿度大小的分界线，计算信息增益

# todo 以有风无风划分，计算信息增益

1. 每朵鸢尾花有萼片长度、萼片宽度、花瓣长度、花瓣宽度四个特征。现在需要根据这四个特征将鸢尾花分为杂色鸢尾花、维吉尼亚鸢尾和山鸢尾三类，试构造决策树进行分类。

序号	萼片长度	萼片宽度	花瓣长度	花瓣宽度	种类
1	5.0	2.0	3.5	1.0	杂色鸢尾
2	6.0	2.2	5.0	1.5	维吉尼亚鸢尾
3	6.0	2.2	4.0	1.0	杂色鸢尾
4	6.2	2.2	4.5	1.5	杂色鸢尾
5	4.5	2.3	1.3	0.3	山鸢尾

观察上表中的五笔数据，我们可以看到 杂色鸢尾 和 维吉尼亚鸢尾 的花瓣宽度明显大于山鸢尾，所以可以通过判断花瓣宽度是否大于 0.7，来将山鸢尾区从其他两种鸢尾中区分出来。

同时，杂色鸢尾 和 维吉尼亚鸢尾 的花瓣长度明显大于山鸢尾，所以也可以通过判断花瓣长度是否大于 2.4，来将山鸢尾区从其他两种鸢尾中区分出来。

然后我们观察到 维吉尼亚鸢尾的花瓣长度明显大于杂色鸢尾，所以可以通过判断花瓣长度是否大于 4.75，来将杂色鸢尾和维吉尼亚鸢尾区分出来。

实际上是否如此呢？你能否想到其他的切分方式？

上面的表格只是 Iris 数据集的一小部分，完整的数据集包含 150 个数据样本，分为 3 类，每类 50 个数据，每个数据包含 4 个属性。即花萼长度，花萼宽度，花瓣长度，花瓣宽度4个属性。

我们使用 sklearn 工具包来构建决策树模型，先导入数据集。

from sklearn.datasets import load_iris
# 加载数据集
iris = load_iris()
# 查看 label
print(list(iris.target_names))
# 查看 feature
print(iris.feature_names)

setosa 是山鸢尾，versicolor是杂色鸢尾，virginica是维吉尼亚鸢尾。

sepal length， sepal width，petal length，petal width 分别是萼片长度，萼片宽度，花瓣长度，花瓣宽度。

然后进行训练集和测试集的切分。

from sklearn.model_selection import train_test_split
# 载入数据
X, y = load_iris(return_X_y=True)
# 切分训练集合测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.33, random_state=42)

接下来，我们在训练集数据上训练决策树模型。

from sklearn import tree
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
# 初始化模型，可以调整 max_depth 来观察模型的表现
# 也可以调整 criterion  为 gini 来使用 gini 指数构建决策树
clf = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='entropy', max_depth=2)
# 训练模型
clf = clf.fit(X_train, y_train)

我们可以使用 graphviz 包来展示构建好的决策树。

import graphviz
feature_names = ['萼片长度','萼片宽度','花瓣长度','花瓣宽度']
target_names = ['山鸢尾', '杂色鸢尾', '维吉尼亚鸢尾']
# 可视化生成的决策树
dot_data = tree.export_graphviz(clf, out_file=None,
                     feature_names=feature_names,
                     class_names=target_names,
                     filled=True, rounded=True,
                     special_characters=True)
graph = graphviz.Source(dot_data)
graph

我们看模型在测试集上的表现。

from sklearn.metrics import accuracy_score
y_test_predict = clf.predict(X_test)
accuracy_score(y_test,y_test_predict)

实践与体验

计算文章的信息熵

收集中英文对照的短文，在计算短文内中文单词和英文单词出现概率基础上，计算该两篇短文的信息熵，比较中文短文信息熵和英文短文信息熵的大小。

首先定义一个方法来辅助读取文件的内容。

def read_file(path):
    """
    读取某文件的内容
    :param path: 文件的路径
    :return: 文件的内容
    """
    contents = ""
    with open(path) as f:
        # 读取每一行的内容
        for line in f.readlines():
            contents += line
    return contents

使用上面定义的方法读取英文短文及其对应的中文短文。

# 读取英文短文
en_essay = read_file('essay3_en.txt')
# 读取中文短文
ch_essay = read_file('essay3_ch.txt')

处理文本，统计单词出现的概率，并计算信息熵。

from collections import Counter
import re


def cal_essay_entropy(essay, split_by=None):
    """
    计算文章的信息熵
    :param essay: 文章内容
    :param split_by: 切分方式，对于中文文章，不需传入，按字符切分，
                     对于英文文章，需传入空格字符来进行切分
    :return: 文章的信息熵
    """
    # 把英文全部转为小写
    essay = essay.lower()
    # 去除标点符号
    essay = re.sub(
        "[\f+\n+\r+\t+\v+\?\.\!\/_,$%^*(+\"\']+|[+——！，。？、~@#《》￥%……&*（）]", "",
        essay)
    # print(essay)
    # 把文本分割为词
    if split_by:
        word_list = essay.split(split_by)
    else:
        word_list = list(essay)
    # 统计总的单词数
    word_number = len(word_list)
    print('此文章共有 %s 个单词' % word_number)
    # 得到每个单词出现的次数
    word_counter = Counter(word_list)
    # print('每个单词出现的次数为：%s' % word_counter)
    # 使用信息熵公式计算信息熵
    ent = -sum([(p / word_number) * log(p / word_number, 2) for p in
                word_counter.values()])
    print('信息熵为：%.2f' % ent)
    return ent

ent = cal_essay_entropy(ch_essay)

ent = cal_essay_entropy(en_essay, split_by = ' ')

问题 1: 你在上面的试验中观察到了什么？请在下面写下你观察到的现象，并尝试分析其原因。

答案 1：（在此处填写你的答案。）

扩展阅读

1. 决策树与随机森林
2. 从决策树到随机森林：树型算法的原理与实现
3. sklearn 决策树