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math模块及其应用

__模块(module)__是 Python 中非常重要的东西，可以把它理解为 Python 的扩展工具，可提供面向特定领域或方向的程序功能。Python 安装好之后，默认安装了一些模块，称为__“标准库”__，“标准库”中的模块__不需要安装__，就可以直接使用。
没有纳入标准库的模块，需要使用 __“pip install模块名”__安装之后才能使用。</font> </font>

在数学运算之中，除了加、减、乘、除运算之外，还有其它更多的运算，比如乘方、开方、对数运算等等，要实现这些运算，可以使用Python 中的__math模块__。该模块是内置模块，不需要安装，可直接使用。

Python中导入模块的方法有两种：

  • 导入模块名

此时，程序可以调用模块名中的__所有函数__，语法表示如下：

import 库名

调用模块中函数时，需明确指出函数所在的模块的名称，格式如下：

模块名.函数名(函数参数)
In [2]:
import math   # 导入math模块,引用其中的函数时需要用在函数名前面加“math.”

print(math.pi)             # 输出math模块中的pi值3.141592653589793
print(math.sqrt(5))        # 调用math模块中的sqrt函数求解5的平方根并输出

3.141592653589793
2.23606797749979

若调用模块中函数时，__未指出函数所在的模块__的名称，将抛异常。</font>

In [ ]:
import math   

print(pi)   # 未指明模块名，抛未定义异常
  • 直接导入库中的__函数__

可以同时引用多个函数，各函数间用逗号分隔，也可以用通配符“*”代替，表示引入该为中的所有函数，语法表示如下：

from <库名 > import <函数名，函数名，...，函数名 > from <库名 > import *

此时，调用该库的函数时不需要指明函数所在库的名称，格式如下：

<函数名 >(<函数参数 >)

In [3]:
from math import pi,sqrt  # 导入math中的常数pi和sqrt()函数，直接引用函数名


print(pi)             # 输出math模块中的pi值3.141592653589793
print(sqrt(5))        # 调用math模块中的sqrt函数求解5的平方根并输出
In [4]:
from math import *    # 导入math中的所有函数，直接引用函数名


print(pi)             # 输出math模块中的pi值3.141592653589793
print(sqrt(5))        # 调用math模块中的sqrt函数求解5的平方根并输出

一般程序较简单时，只引入一个库或所引用的函数仅在一个库中存在时，两种方法都可以使用。
当编写的程序较复杂、__引用多个库时__，可能在多个库中存在同名函数，而这些同名函数功能可能不同。这时建议使用__第一种方法__，明确指出所引用的函数来自于哪个库，以免出现错误。

math库中包括:
24个数论与表示函数
10个幂和对数函数
9个三角函数
6个双曲函数
2个角度转换函数
4个特殊函数
5个数学常量

24个数论与表示函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 ceil(x) 返回 x 的向上取整，即大于或等于 x 的最小的整数
2 comb(n, k) 返回不重复且无顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数
3 copysign(x, y) 返回一个基于 x 的绝对值和 y 的符号的浮点数。在支持带符号零的平台上，copysign(1.0, -0.0) 返回 -1.0.
4 fabs(x) 返回 x 的绝对值
5 factorial(x) 以一个整数返回 x 的阶乘。
6 floor(x) 返回 x 的向下取整，小于或等于 x 的最大整数。
7 fmod(x, y) 返回 fmod(x, y)
8 frexp(x) 以 (m, e) 对的形式返回 x 的尾数和指数
9 fsum(iterable) 返回迭代中的精确浮点值
10 gcd(*integers) 返回给定的整数参数的最大公约数
10 isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0) 若 a 和 b 的值比较接近则返回 True，否则返回 False
12 isfinite(x) 如果 x 既不是无穷大也不是NaN，则返回 True ，否则返回 False
13 isinf(x) 如果 x 是正或负无穷大，则返回 True ，否则返回 False
14 isnan(x) 如果 x 是 NaN（不是数字），则返回 True ，否则返回 False
15 isqrt(n) 返回非负整数 n 的整数平方根。 这就是对 n 的实际平方根向下取整，或者相当于使得 a² ≤ n 的最大整数 a。
16 lcm(*integers) 返回给定的整数参数的最小公倍数
17 ldexp(x, i) 返回 x * (2**i) 。 这基本上是函数 frexp() 的反函数。
18 modf(x) 返回 x 的小数和整数部分。两个结果都带有 x 的符号并且是浮点数
19 nextafter(x, y) 返回 x 趋向于 y 的最接近的浮点数值
20 perm(n, k=None) 返回不重复且有顺序地从 n 项中选择 k 项的方式总数
21 prod(iterable, *, start=1) 计算输入的 iterable 中所有元素的积。 积的默认 start 值为 1。
22 remainder(x, y) 返回 IEEE 754 风格的 x 相对于 y 的余数。对于有限 x 和有限非零 y ，这是差异 x - n*y ，其中 n 是与商 x / y 的精确值最接近的整数。如果 x / y 恰好位于两个连续整数之间，则将最接近的 偶数 用作 n 。
23 trunc(x) 返回去除小数部分的 x ，只留下整数部分。
24 ulp(x) 返回浮点数 x 的最小有效比特位的值

10个幂和对数函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 cbrt(x) 返回 x的立方根（3.11新增）
2 exp(x) 返回 e 次 x 幂，其中 e = 2.718281... 是自然对数的基数。这通常比 math.e ** x 或 pow(math.e, x) 更精确。
3 exp2(x) 返回 2 的x次幂（3.11新增）
4 expm1(x) 返回 e 的 x 次幂，减1。这里 e 是自然对数的基数。
5 log(x[, base]) 使用一个参数，返回 x 的自然对数（底为 e ）
6 log1p(x) 返回 1+x 的自然对数（以 e 为底）。 以对于接近零的 x 精确的方式计算结果。
7 log2(x) 返回 x 以2为底的对数。这通常比 log(x, 2) 更准确。
8 log10(x) 返回 x 底为10的对数。这通常比 log(x, 10) 更准确
9 pow(x, y) 将返回 x 的 y 次幂， pow(1.0, x) 和 pow(x, 0.0) 总是返回 1.0
10 sqrt(x) 返回 x 的平方根

9个三角函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 acos(x) 返回以弧度为单位的 x 的反余弦值。 结果范围在 0 到 pi 之间
2 asin(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正弦值。 结果范围在 -pi/2 到 pi/2 之间
3 atan(x) 返回以弧度为单位的 x 的反正切值。 结果范围在 -pi/2 到 pi/2 之间
4 atan2(y, x) 以弧度为单位返回 atan(y / x) 。结果是在 -pi 和 pi 之间
5 cos(x) 返回 x 弧度的余弦值
6 dist(p, q) 返回 p 与 q 两点之间的欧几里得距离，以一个坐标序列（或可迭代对象）的形式给出。 两个点必须具有相同的维度。
7 hypot(*coordinates) 返回欧几里得范数，sqrt(sum(x**2 for x in coordinates))。 这是从原点到坐标给定点的向量长度
8 sin(x) 返回 x 弧度的正弦值
9 tan(x) 返回 x 弧度的正切值

6个双曲函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 acosh(x) 返回 x 的反双曲余弦值
2 asinh(x) 返回 x 的反双曲正弦值
3 atanh(x) 返回 x 的反双曲正切值
4 cosh(x) 返回 x 的双曲余弦值
5 sinh(x) 返回 x 的双曲正弦值
6 tanh(x) 返回 x 的双曲正切值

2个角度转换函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 degrees(x) 将角度 x 从弧度转换为度数
2 radians(x) 将角度 x 从度数转换为弧度

4个特殊函数

序号 函数或常量 描述与示例
1 erf(x) 返回 x 处的 error function
2 erfc(x) 返回 x 处的互补误差函数
3 gamma(x) 返回 x 处的 伽马函数 值
4 lgamma(x) 返回Gamma函数在 x 绝对值的自然对数

5个数学常量

序号 函数或常量 描述与示例
1 pi 数学常数 π = 3.141592653589793，精确到可用精度
2 e 数学常数 e = 2.718281828459045，精确到可用精度
3 tau 数学常数 τ = 6.283185307179586，精确到可用精度。Tau 是一个圆周常数，等于 2π，圆的周长与半径之比。
4 inf 浮点正无穷大
5 nan 一个浮点的 "非数字"（NaN）值。使用 isnan() 函数来测试 NaN，而不是 is 或 ==
In [3]:
import math

print(math.pi)    # 3.141592653589793
print(math.e)     # 2.718281828459045
print(math.tau)   # 6.283185307179586

这些函数一般都是对C语言库中同名函数进行简单封装，仅支持整数和浮点数，__不支持复数运算__。
如果需要复数支持，可以使用cmath模块。

下面对其中较常用的函数做简单说明，其他情况可参考官方文档https://docs.python.org/zh-cn/3/library/math.html 。

  • ### 数学常量 ###### math.pi：返回圆周率常数π值 ###### math.e：返回自然常数e值
In [7]:
import math
print(math.pi)
print(math.e)
  • ### 数论与表示函数
math.fabs(x)：以浮点数形式返回x的绝对值。
In [8]:
import math
print(math.fabs(-6))  # 返回浮点型的绝对值，输出6.0
math.factorial(x)：返回x的阶乘，要求x为非负整数，x为负数或浮点数时返回错误。
In [11]:
print(math.factorial(6))  # 返回6！，输出720
In [12]:
print(math.factorial(-6))  # 参数为负数，抛异常
In [14]:
print(math.factorial(6.5))  # 参数为浮点，抛异常
math.fsum(iterable))：返回浮点数迭代求和的精确值，避免多次求和导致精度损失。
In [16]:
print(sum([.1, .1,.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]))     
print(math.fsum([.1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1, .1]))
math.gcd(*integers)：返回给定的整数参数的最大公约数。

如果参数之一非零，则返回值将是能同时整除所有参数的最大正整数。
如果所有参数为零或无参数，则返回值为 0。
在 3.9 版后添加了对任意数量的参数的支持，3.8版本或之前只支持两个参数。

In [17]:
print(math.gcd(88, 44))      # 返回2个值的最大公约数，输出44
print(math.gcd(88, 44, 22))  # 返回3个值的最大公约数（3.9新增），输出22
print(math.gcd(88, 44, 0))   # 返回值是能同时整除所有参数的最大正整数，输出44
print(math.gcd(0, 0))        # 如果所有参数为零或无参数，则返回值为0
print(math.gcd())
math.lcm(*integers)：返回给定的整数参数的最小公倍数。（3.9版新增函数）

如果所有参数均非零，则返回值将是为所有参数的整数倍的最小正整数。
如果参数之一为零，则返回值为 0。
不带参数的 lcm() 返回 1。

In [18]:
print(math.lcm(5, 44, 22))  # 返回3个值的最小公倍数，输出220
print(math.lcm(22, 44, 0))  # 如果参数之一为0，返回值为0
print(math.lcm(0, 0))
print(math.lcm())           # 无参数时，返回值为1
math.prod(iterable, *, start=1)：计算输入的可迭代对象 iterable 中所有元素的积。

积的默认起始值start为 1。
当可迭代对象为空时，返回起始值。
此函数特别针对数字值使用，并会拒绝非数字类型。

In [21]:
print(math.prod([1,2,3,4,5]))            # 1*2*3*4*5，输出120
print(math.prod([1,2,3,4,5], start=2))   # 2*1*2*3*4*5，输出240
print(math.prod([]))
print(math.prod([], start=2))            #当可迭代对象为空时，返回起始值start（默认为1）。
math.floor(x)：返回不大于x的最大整数。
In [24]:
print(math.floor(9.99))    # 输出9
print(math.floor(-9.01))   # 输出-10
print(math.floor(9))       # 输出9
math.ceil(x)：返回不小于x的最小整数。
In [25]:
print(math.ceil(9.01))    # 输出10
print(math.ceil(-9.99))   # 输出-9
print(math.ceil(9))       # 输出9
math.isqrt(n)：返回非负整数 n 的整数平方根。

即对 n 的实际平方根向下取整，或者相当于使得 a² ≤ n 的最大整数 a。

In [27]:
print(math.isqrt(99))            # 输出 99的整数平方根 9

某些情况下，对于正数 n，需求使得 n ≤ a² 的最小整数 a ，或者换句话说就是 n 的实际平方根向上取整，可使用下面的方法实现。

In [28]:
print(1 + math.isqrt(99 - 1))    # 输出不小于99的平方根的最小整数10
  • ### 幂和对数函数
math.log(x[, base])：返回x以base为底的对数。

使用一个参数，返回 x 的自然对数（底base为 e ）。

使用两个参数，返回给定的 base 为底的对数 x ，计算为 log(x)/log(base) 。

In [30]:
print(math.log(10))      # 返回10的自然对数
print(math.log(10, 2))  # 返回10以2为底对数
math.log2(x)：返回以2为底的x的对数。

其值通常比log(x, 2)值更精确

In [40]:
print(math.log2(50))    # 返回50以2为底对数
math.log10(x)：返回以10为底的x的对数。

其值通常比log(x, 10)值更精确

In [41]:
print(math.log10(50))    # 返回50以10为底对数
math.exp(x)：返回 $e^x$
In [42]:
print(math.exp(2))               # 输出 e 的平方，7.38905609893065
math.pow(x, y)：返回x的y次幂

结果为浮点数，pow(1.0, x) 和 pow(x, 0.0) 总返回1.0。

In [2]:
import math
print(pow(2, 3))             # 输出 2 的 3 次方 8.0
print(math.pow(1.0, 5))           # 输出 1.0
print(math.pow(5, 0))             # 输出 1.0

8
1.0
1.0
math.sqrt(x)：返回x的平方根

结果为浮点数

In [45]:
print(math.sqrt(100))   # 输出 100的正数平方根 10.0
print(math.sqrt(2))     # 输出 2的正数平方根 1.4142135623730951
  • ### 三角函数
math.sin(x)：返回弧度x的正弦值。
In [51]:
print(math.sin(math.pi / 6))   
print(math.sin(math.pi / 3))
math.cos(x)：返回弧度x的余弦值。
In [52]:
print(math.cos(math.pi / 6))   
print(math.cos(math.pi / 3))
math.tan(x)：返回弧度x的正切值。
In [54]:
print(math.tan(math.pi / 4))   
print(math.tan(0))
math.asin(x)：返回以弧度为单位的 x 的反正弦值。

结果范围在 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 之间。

In [60]:
print(math.asin(0.5))   
print(math.asin(1))
math.acos(x)：返回以弧度为单位的 x 的反余弦值。

结果范围在0到$\pi$之间。

In [62]:
print(math.acos(0.5))   
print(math.acos(0))
math.atan(x)：返回以弧度为单位的 x 的反正切值。

结果范围在 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 之间。

In [63]:
print(math.atan(1))   
print(math.atan(0))
math.hypot(*coordinates)： 返回欧几里得范数。

即从原点到坐标给定点的向量长度

In [64]:
print(math.hypot(3, 4))          # 计算点(3, 4)到原点(0.0)的距离,输出 5.0
  • ### 角度转换函数
math.degrees(x)：弧度值转角度值。
In [68]:
print(math.degrees(math.pi / 4))  # 输出 45.0
print(math.degrees(math.pi))      # 输出 180.0
math.radians(x)：角度值转弧度值。
In [71]:
print(math.radians(45))    # 输出约为pi/4
print(math.radians(180))   # 输出约为pi

实例：梅钦法计算圆周率

梅钦公式是格里高利/莱布尼茨计算的公式的变体，它的收敛速度很快，至今仍然是计算圆周率的主要公式，请根据此公式计算圆周率值。

$$\frac{\pi}{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239} $$

提示：math库中反正切函数为__atan(x)__

In [1]:
import math

quarter_of_pi = 4 * math.atan(1 / 5) - math.atan(1 / 239)
pi = 4 * quarter_of_pi
print(pi)  # 3.1415926535897936